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3 - O cálculo do VaR

Antes de mais nada, vamos entender adequadamente o que é o VaR. O VaR é uma medida da pior perda esperada dentro de um certo intervalo de tempo, em condições normais de mercado e a um certo nível de confiança. É importante destacar que o VaR é uma medida monetária, concisa e bastante intuitiva. Assim, se um banco informar que o VaR diário de sua carteira é de R$ 10 milhões com um nível de confiança de 99%, a informação subjacente é que há apenas uma chance em cem de que ao longo de um dia o prejuízo supere os R$ 10 milhões, considerando condições normais de mercado.

A questão central para tornar possível o cálculo do VaR é estimar a magnitude da possível variação dos preços de mercado. Isto é feito quando é determinado o nível de confiança que será utilizado. Tendo a distribuição de probabilidade do ativo e o nível de confiança determinado, facilmente é obtida a variação potencial; esta é a variação correspondente ao quantil da distribuição associado ao nível de confiança escolhido. Com esta variação potencial, basta adicionar a minha exposição e a sensibilidade da minha posição àquela variação para determinar a variação potencial do valor da minha posição. Porém, mais um parâmetro deve ser determinado para que seja possível calcular a variação potencial no preço do ativo: este fator é o intervalo de tempo para o qual desejo calcular o VaR (também chamado holding period). Deste modo, o VaR pode ser entendido como uma combinação da exposição, da sensibilidade e da volatilidade, sendo agregados um nível de confiança e um intervalo de tempo. O gráfico ao lado ilustra o conceito do VaR: sabendo (ou assumindo) a distribuição de retornos do ativo, ao determinar o nível de confiança desejado torna-se possível estimar a variação potencial no preço do ativo de interesse. A partir deste ponto, conhecendo a posição no ativo e a maneira como ela se comporta frente às variações do preço, obtemos a variação no valor detido na posição em função do risco de mercado. A utilização de um quantil da distribuição traz a grande vantagem de estar associada tanto a uma magnitude de valor (a perda potencial) quanto a uma probabilidade claramente definida (o nível de confiança selecionado).

O cálculo do VaR se torna bem mais fácil quando assumimos a hipótese de que a distribuição dos retornos dos ativos de mercado segue uma distribuição normal. Neste caso, é possível calcular a variação potencial no preço do ativo simplesmente multiplicando o desvio padrão do ativo por um fator correspondente ao nível de confiança escolhido. Esta abordagem é chamada paramétrica, pois utiliza um dos parâmetros da distribuição normal (o desvio padrão) ao invés de simplesmente "ler" um quantil da distribuição real de retornos. Esta abordagem é utilizada, por exemplo, no modelo apresentado pelo documento RiskMetrics(TM).

Vamos a seguir tornar nossa explicação um pouco mais rigorosa, além de discutir outros aspectos relacionados ao VaR.

3.1 - VaR para mais de um ativo

Seguindo o modelo paramétrico descrito acima, o cálculo do VaR para uma posição é costumeiramente calculado da seguinte forma:

No Brasil, usualmente o VaR é calculado para um horizonte de tempo de um dia. Uma questão importante é o cálculo do VaR não para uma única posição, mas para uma carteira. Neste ponto vale a pena relembrar da contribuição de Markowitz ao formular a Teoria de Carteiras. Os preços dos ativos que compõem a carteira diversificada não são independentes mas, ao contrário, estão correlacionados uns com os outros. Assim, a simples soma dos VaRs de cada posição, apesar de ser extremamente conservador, está totalmente desvinculada da realidade. A solução é, ao calcular o VaR da carteira, utilizar a matriz de correlações para incorporar o efeito a diversificação. Uma das formas de fazer isto é apresentada abaixo.

Para concluir, vamos rever as hipóteses mais importantes subjacentes a esta metodologia de cálculo do VaR:

• Preço dos ativos segue um processo de random walk;
• Retorno dos ativos é normalmente distribuído e não tem auto-correlação;
• A correlação entre os ativos permanece estável;
• Toda a posição é liquidada ao final do holding period;
• O único efeito sobre os preços decorre do risco de mercado;
• Todas as posições podem ser tratadas como ativos lineares.

3.2 - Mapeamento das posições

O mapeamento das posições é importante por dois aspectos, um lógico e um prático. O lógico diz respeito ao conceito de interpretar as posições de uma instituição em instrumentos do mercado como posições em fatores de risco, sendo feito sobre estes fatores o cálculo do VaR. O aspecto prático considera a dificuldade que surgiria na tentativa de calcular o VaR a partir de todas as posições individuais de uma instituição financeira.

O mapeamento também torna possível agrupar os diferentes vértices, ou seja, pontos específicos da estrutura a termo de um certo fator de risco que se deseja acompanhar, em um único livro (book). Por exemplo, posso escolher acompanhar os vértices de um mês, seis meses, um ano, dois anos e três anos da curva de juros prefixada. Estes vértices abrigariam as posições já mapeadas, sendo na seqüência agregados no mesmo book de natureza prefixada.

Basicamente, o mapeamento será feito em duas etapas: primeiro são definidos os fatores de risco a que uma posição em um determinado instrumento está exposto; em seguida, no caso de posições de renda fixa, será feito o mapeamento de cada posição para os vértices correspondentes, ou seja, para aquelas maturidades da curva de juros que são acompanhadas. A partir deste ponto, todos os cálculos referentes às volatilidades e ao VaR são feitas considerando apenas as posições mapeadas e os fatores de risco e vértices correspondentes.

3.3 - Cálculo da volatilidade

Pelo modelo que vimos até agora, e assumindo as simplificações feitas por ele, em um ponto específico podemos obter uma melhora significativa: na estimativa da volatilidade dos preços.

Vimos que o conceito de volatilidade está associado ao desvio-padrão da distribuição de retornos dos ativos; entretanto, há métodos que fornecem melhores resultados, sob o ponto de vista de terem maior aderência em relação à realidade. Entre estes, estão o GARCH e o EWMA (média móvel exponencialmente ponderada).

O EWMA é o modelo mais comumente adotado para a estimação da volatilidade (sendo um dos fundamentos do RiskMetrics(TM)); ele não implica num grau de complexidade muito maior do que a abordagem de estimar a volatilidade através de uma média móvel (utilizando uma janela fixa de dias) e tem duas vantagens importantes. Primeiro, o EWMA reage rapidamente a um choque no mercado, captando a maior volatilidade mais prontamente. Segundo, a ponderação exponencial faz com que este choque tenha sua "importância" reduzida também rapidamente, o que evita que a volatilidade permaneça demasiadamente elevada por muito tempo (descolada do mercado), o que acontece quando utilizo uma média móvel (onde todas as observações tem o mesmo peso) com uma janela razoavelmente longa. O cálculo do EWMA depende de apenas um parâmetro, o (lambda, também conhecido como fator de decaimento). Este parâmetro determina os pesos relativos dados a cada observação, e varia no seguinte intervalo: 0 < < 1. As fórmulas abaixo apresentam o cálculo da volatilidade e da covariância através do EWMA.